例2-唯有真实不虚的示范才能让孩子领会猜想这一探索问题解决思路的常用且有效的方式

导读：如图，请证明“AQ+QB＜AP+PB”。

【资料图】

绪论

猜想之于科学和科学家的重要性毋庸赘述，小学数学的课标中也提到了要创造机会让孩子去猜想，但在实际实施过程中，往往流于形式或过于浅薄。孩子们在其中鲜有收获。

老师们总是正确地、符合逻辑的讲解题目的解法，而或无意或有意地隐藏了其探索过程的痕迹。

这可能还真是具有某种数学“传统”的意味：

在数学中，要讲述真理是极其困难的，数学理论的形式化的陈述并没有讲清全部的真理。数学理论的真理更象是当我们在听一些专家所做的漫不经心的随口评述时，我们去捕捉专家评述的动因后才会感触到的体味，当我们最终搞清楚典型的例子时，或是当我们发现了隐藏在表面化诸问题之后的实质问题时，我们才品尝到数学之真。哲学家和精神分析学要解释，为什么我们的数学家习惯于系统地擦去我们走过的足迹。科学家们总是不理解地看待数学家的这种怪异的习惯，而这种习惯自毕达哥拉斯以来直至今天几乎没有改变。

——J. L. Casti

数学有一个本性的趋向——利用抽象和一般化——由此而将广泛领域中的素材加以综合与提炼，形成简单而又统一的概念与方法，去处理各种各样复杂的情况。这个过程有时被称为‘压缩’，有意思的是，这种很有效的知识形成过程却对进行教学的数学家来说是一个障碍，他在这时必须担当起‘解开压缩’的角色，这样才能让那些自主研究学习能力不强的学生来逐渐理解数学。

——H. Bass

——以上两段均转引自：从历史角度讲现代数学

“猜想”可能也就是如此被隐藏了的。

“科学家常玩且善玩的猜想究竟是怎么玩的之示范与猜想”这个单元，就是要揭开“猜想”的面纱，以我自己的“猜想”经验现身说法并介绍我所知道的科学史上某些科学家如何猜想的经验——当然，其中更多的仍然只是我的“猜想”。

---------------------------------------------------------

按：原文标题为”科学家常玩且善玩的猜想究竟是怎么玩的之示范与猜想-例1“，鉴于原文的字里行间有很多以小号和低亮度文字所作的注释，所以建议阅读原文。

想象力比知识更重要。

——爱因斯坦

例题2

孩子（四上）老师发的“每日一思”（学有余力则做，不强求）

注

本文请容我假公济私一下，要讨论的这道题是孩子数学老师布置的“每日一思”，孩子没思考出来。原因之一当然可能是就是想不出来——破解这道题最关节处的灵思暂时不在她的敏锐性所及范围内，原因之二是没来得及（作业太多了！！！）好好思考。有时间再想也不行，因为往往第二天或稍后老师就会讲解，因而就失去了独立思考的机会。所以，与其孩子老师蜻蜓点水般地讲，不如我给孩子好好讲解一下——通过让孩子阅读本文的方式，以引导孩子领会一番其中的学问。

本题指向的学问不仅在于“猜想”——且侧重其中的“猜”即对于可能走得通的路径的试错性探索，还在于“表述”——如何用数学语言去论述（哪怕是显而易见的东西，如本题所要说明/论证的）是一件需要阅读、模仿进而自创的事情。

一、我自己独立思考得出答案及其解题思路的详情

刚开始看到这道题目，老实说，我有点生气，因为这不明摆着的事情嘛（因为AP+PB＞AQ+QB，所以走Q村比走P村路程更近啊），为啥还要问为什么并且还要用数学知识说明其中的道理，说明啥道理？老百姓都知道，走近道的话就要走弓弦路而不要走弓背路。

稍后一想，这个题目还是挺有意义的，可以让孩子们初步接触到“证明”这一数学上非常重要的一门功夫，即使是简单到显而易见的东西也需要通过数学证明来为其确定性奠定基础。

那就想想怎么来解答这道题吧。

题目所问的“为什么”很好回答：

因为AQ+QB＜AP+PB，所以从A村到B村走Q村比走P村路程更近。

题目接下来的要求是：用所学的数学知识说明其中的道理。

要说明道理的就是为什么“AQ+QB＜AP+PB”了。

其中的数学知识无非是“三角形两边之和大于第三边”（我孩子知道要运用这个知识点，相信这也是绝大多数孩子都有的直觉）。

现在我们来对“AQ+QB＜AP+PB”做出证明——也就是题目所说的“说明其中的道理”。

首先我想到的是连接AB（图略），然后根据“三角形两边之和大于第三边”的知识点列出一组“不等式”（符号语言表达的数量关系，是“代数式”的形式，虽是“代数”，但由于有几何直观，孩子是能明白的），继而发现这组不等式没用，从中得不出我们想要的结果即“AQ+QB＜AP+PB”（因下文将详述，故此处略）。

然后我想到的是连接PQ，然后同样操作，继而发现还是不行。

连续两次碰壁，不免有点小小的沮丧。到底怎么来证明呢？还有什么办法呢？继续好好想想。

想着想着就想到了延长AQ并与PB相交，在图上一画出这条线（发现题目有“提示”，提示的也是这个路子。愚见以为不该提示，因为一提示就让孩子们失去了在迷茫中探索、最后发现出路的机会了，也就失去了领略“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的那种“高峰体验”的机会了），马上就觉得有门儿了：

延长AQ（正如题目所提示的）交于PB，记其交点为M

看到这个辅助线一作出来，是否就恍然大悟了呢？但别急，后面如何表述仍需考究

因为作为中介、辅助的QM将在列出的一组不等式中呈现出交错的状态，而有此“交错”，则对两个不等式（分别对应构造出的两个三角形）进行加法运算时就能消掉，进而得到“AQ+QB＜AP+PB”这一不等式。

试着列出不等式后，发现这条路走通了（因下文将详述，故此处略）。

二、为孩子讲解的解题思路以及其中的关键诀窍

为表述方便和严谨，尽量用了书面用语，且仿照了《几何原本》中证明的格式【《几何原本》这本书，之前为了写《祛魅《几何原本》｜《几何原本》的“演绎”和“公理化”之“魅”，何以祛之？中国象棋+元素周期表》这篇文章，我买了，张卜天的译本，超厚的一大本。计划带孩子一起研读的，可是我孩子现在还不够“上道”——不喜欢数学、不爱思考数学问题（可能是被学校的数学教育折腾得兴趣大减了）。“强按牛头不喝水”，还是耐心等待她“觉悟”吧。我建议孩子还在一二年级的家长朋友们可以带孩子一起研读一下《几何原本》，开卷有益。】。

解题思路

读题、看图：

1、邮递员从A村送信到B村，总是走经过Q村的道路，不走经过P村的道路，这是为什么呢？

这个“为什么”显而易见，因为从图中可以直观看出——也符号生活经验常识即“弓弦路比弓背路更近”（其中的道理就是“三角形的两边之和大于第三边”）：

从A村到B村走Q村比走P村的路程更短，因为线路AQB的路程比线路APB的路程要短，也即，线段AQ（从A村到Q村的距离/路程的长度）与线段QB（从Q村到B村的距离/路程的长度）的长度之和比线段AP（从A村到P村的距离/路程的长度）与线段PB（从P村到B村的距离/路程的长度）的长度之和要小；

用几何语言来表述/表示就是：

AQ+QB＜AP+PB。

【这道题的问题属于“几何”问题。“几何学”是数学中的一个分支学科，它是一门主要研究对象为“形”及其关系的学问（我们现在学的数学属于属于数学中的另一个分支学科或者说初步阶段叫“算术”，“算术”是一门主要研究对象为“数”及其运算的学问）。每一门学问都有其独具特色的语言，在几何语言中，如AQ这样的符号既表示/指代以A、Q为两个端点的线段也表示/指代线段AQ的长度即端点A与端点Q之间的距离，且AQ与QA是“等价”的——在表示线段长度时则有AQ=QA。】

2、题目接着的要求是让“用所学的数学知识说明其中的道理”。

说明其中的道理？说明什么的道理呢？AQ+QB＜AP+PB。

说明“AQ+QB＜AP+PB”中的什么道理？这其中的道理不是显而易见的么，还要说明？是的，虽然直观可知，但为了验证这一直观认知究竟正确与否或者让这一认知变得确凿无疑，就需要讲清楚其中的道理。讲道理这个事情在几何学中被称为“证明”，“证明”是几何学的一大特点。

【几何学的特点，就是但凡不是公理或公设（所谓“公理”或“公设”就是最简单、最基本、人所共知且接受并认可的道理），所有认知都要讲清楚其中的道理，几何学中称之为“证明”，得到了证明的认知就成为“定理”，这些“定理”与公理和公设一起就成为证明其它更多认知的前提和基础，也就是我们说的“知识”。】

那用什么数学知识来证明“AQ+QB＜AP+PB”呢？直觉告诉我们，这个数学知识就是“三角形两边之和大于第三边”（孩子们能想到也一定能直觉到的就是这一条知识，因为刚刚学过或才学过不久）。

【其实“三角形两边之和大于第三边”这条知识就属于前面提到的“定理”，这一“定理”其实也是需要用公理和公设去证明的，只不过它要被经常用到，而且是初学者就要学习它的证明的，所以以后再用它就不用再重复其证明了——因为但凡学过一点几何的人都知道它是确凿无疑的了。其证明方法之一（有多种证明方法）的核心是：运用“两点之间线段最短”的“公理”去构造证明。“构造”这种表征数学乃至于科学中的一个重要理念——具有方法论的意味——的词汇一定要多多跟孩子表达，孩子当下懂不懂不要紧，要紧的是要让这一词汇早早地进入他们的脑子里，以后机缘到时，孩子自会有所领悟。犹如先播种然后静待其发芽。】

3、现在我们就来用“三角形两边之和大于第三边”这个知识/这条定理来证明“AQ+QB＜AP+PB”。

（1）要用这个知识，就要先找三角形，且三角形中有我们要证明的目标即“AQ+QB＜AP+PB”中的元素即“边AQ、QB、AP、PB”。

（2）最易于发现的含有“边AQ、QB、AP、PB”的三角形就是连接A、B两点后得到两个三角形即三角形APB和三角形AQB，且这两个三角形共一条边AB。

运用“三角形两边之和大于第三边”这条定理写出分别对应于两个三角形的两组（每组三个）不等式：

【两个/组数量——各个/组数量用一个数或一个算式表示——的关系是相等时用“＝”连接两个/组数量关系而建立的式子叫等式，不相等时用非等号如≠或＞或＜或≥或≤或……连接而建立的式子叫不等式。】

在三角形APB中

AP＋PB＞AB

AP＋AB＞PB

AB＋PB＞AP

在三角形AQB中

AQ＋QB＞AB

AQ＋AB＞QB

AB＋QB＞AQ

【根据前文已作之说明，AP这样的符号在不等式中表示的是线段AP的长度即端点A与端点P之间的距离，PB、AQ、QB、AB同理。后文同。】

接着要对这两组不等式进行运算，运算方式有：

运算方式之一：基于“加法”的运算。

【即：将两个不等式的左右两边加起来，或者说，将一个不等式的左右两边分别加到另一个不等式的左右两边，不等式仍然成立——其中的“＞”关系不变。】

运算方式之二：基于“传递性”的运算。

【所谓“传递性”即如：若a＞b，b＞c，则a＞c，其中的“＞”可替换为“＜”、“=”、“≥”、“≤”】

运算方式之三：似乎没有了。

经过审查和运算（可眼观心算，也可以稿纸上笔算），我们发现从中得不到我们想要的不等式，即：

AQ+QB＜AP+PB，或，AP+PB＞AQ+QB。（两个不等式是“等价”的）

这说明连接A、B得到的两个三角形的这条路走不通。

此路不通，我们就另寻别的路。

（３）易于发现，连接PQ也能获得含有“边AQ、QB、AP、PB”的两个三角形即三角形APQ和三角形BPQ，且这两个三角形共一条边PQ。

运用“三角形两边之和大于第三边”这条定理写出分别对应于两个三角形的两组（每组三个）不等式：

在三角形APQ中

AQ＋PQ＞AP

AP＋PQ＞AQ

AP＋AQ＞PQ

在三角形BPQ中

BQ＋PQ＞BP

BP＋PQ＞BQ

BP＋BQ＞PQ

接着要对这两组不等式进行运算，运算方式与前述相同。

经过审查和运算（可眼观心算，也可以稿纸上笔算），我们发现从中也得不到我们想要的不等式，即：

AQ+QB＜AP+PB，或，AP+PB＞AQ+QB。（两个不等式是“等价”的）

这说明连接P、Q得到的两个三角形的这条路也走不通。

此路也不通，那我们就得再次另寻别的路。

（4）还有什么别的路呢？前两次尝试虽然没有成功，但其中的构建三角形的思路是没问题的，接下来还得构造三角形。

还能构造怎样的三角形呢？

我们再认真审一下图。

连接A、B与连接P、Q分别构造出的两个三角形都试过了，不行。

那还能如何构造出另外两个三角形呢？

想啊想，想啊想，突然"想到"（或：发现、“直观”到）延长AQ与PB相交也能得到两个三角形。

终于又找到一条路了，虽然不知能不能走通，但通不通只有走了才知道。那我们就来试试看这条路能否走通。

（5）延长AQ使其与PB相交，记交点为M，如下图。

这就构造出了两个三角形，即：三角形APM，三角形BMQ。

运用“三角形两边之和大于第三边”这条定理写出分别对应于两个三角形的两组（每组三个）不等式：

在三角形APM中

AM＋PM＞AP

AP＋PM＞AM

AP＋AM＞PM

在三角形BMQ中

BQ＋MQ＞BM

BM＋MQ＞BQ

BM＋BQ＞MQ

接着要对这两组不等式进行运算，运算方式与前述相同。

我们先分别在两个三角形得到的不等式中各取一个，对照图示按直觉取这一对：

AP＋PM＞AM …………(1)

BM＋MQ＞BQ …………(2)

【为何偏偏取这一对？直觉。但直觉也必然有一定依据的，此依据为：这两个不等式相对来说更自然，即，两个相对短的边的和大于最长的边的和。其实，我自己在探索解题思路时，在第（2）、（3）步中，并没有列出所有的不等式，而也是只对”更自然“的那一对不等式进行了运算验证。当然，如果当前这第三条路能通还则罢了，算是捡了个便宜、偷到了懒；如果当前这第三条路也走不通，并且一时又实在找不到其它的可走的路，那还得回到第（2）、（3）步中（当然也包括正在走的这条路的这一步），去将未列出的不等式列出来，并对其进行运算验证，如果它们确实还是不能达到目标即得出所要的不等式，那就说明，我们的确应该还要另寻出路。】

对这一对不等式进行运算。

先对其做加法，得：

【将（2）式的左右两边分别加到（1）式的左右两边，不等式仍然成立即其中的“＞”不变。】

AP＋PM+BM＋MQ＞AM+BQ…………(3)

由图可知：

AM-MQ=AQ…………(4)

则将式(3)左右两边同时减去MQ，不等式依然成立

BM+MQ+AP+PM-MQ＞QB+AM-MQ……(5)

将式(4)代入式(5)并运算化简得：

BM+AP+PM＞QB+AQ…………(6)

又由图可知：

BM+PM=PB …………(7)

将式(7)代入式(6)并运算得：

AP+PB＞QB+AQ …………(8)

也即：

AP+PB＞AQ+QB …………(9)

也即：

AQ+QB＜AP+PB …………(10)

其意为：

从A村到B村走Q村比走P村路程更短。

故：

邮递员走Q村而不走P村。

证毕（或：QED）。

【证明结束以“证毕”一词表示，或者说，在证明的末尾加“证毕”两个字，是数学证明中的习惯用法，是表示证明结束的符号。与中文“证毕”对应的西文是“QED”或“Q.E.D.”。QED是拉丁文（注意，不是英文）“quod erat demonstrandum ”的缩写形式，其直译：“这（就）是要被证明的。”】

（6）延长AQ与BP相交而构造出两个三角形的路子终于走通了，耶！

答题表述

答：

1、为什么邮递员从A村送信到B村总是走经过Q村的路线而不走经过P村的路线呢？

因为：由图直观可知，走Q村比走P村更近即总路程更短。

其几何表示为：AQ+QB＜AP+PB

2、以下将说明其中的道理，即对“AQ+QB＜AP+PB”进行证明。

证明：AQ+QB＜AP+PB

延长AQ并使其与BP相交，记交点为M，如下图：

∵ 三角形两边之和大于第三边

∴ 在三角形APM中，如下不等式成立：

AP＋PM＞AM ……(1)

在三角形BMQ中，如下不等式成立：

BM＋MQ＞QB……(2)

令(1)式+(2)式，得如下不等式：

AP＋PM+BM＋MQ＞AM+QB……(3)

又，由图可知：

AM-MQ=AQ…………(4)

BM+PM=PB …………(5)

将式(3)两边同时减去MQ并运算、化简为：

AP＋PM+BM＞AM-MQ+QB……(6)

将式(4)、(5)分别代入式(6)，得：

AP+PB＞AQ+QB …………(7)

也即：

AQ+QB＜AP+PB …………(8)

证毕。

三、感想与体会

前两次的“失败”（准确的说，应该是“挫折”；即使是“失败”，也败得有意义、有价值，因为她至少告诉我们“此路不通”了，更重要的是，她以“约束”/“限制”的方式“激发”、“指引”我们寻求到了导向成功的道路）难免有点令人沮丧，但大可不必气馁，只要再坚持努力思考了一下，就发现了第三条道路，这条道路通向了成功，成功的欣悦如此令人陶醉。

“山重水复疑无路，柳暗花明又一村。”古人诚不我欺也！

科学家的研究成果比如某某理论写出论文来也就那么几页或几十页，但他们研究得到其理论的时间可是以周计、以月计、以年计甚至是以十数年计的，大家可想而知，科学家们在研究思考的过程中，会遇到多少困难、挫折，会经受多少委屈、沮丧，但他们克服了，最后，他们想通了问题的关节处，成功地创造出他们的理论。

我们现在解答习题就相当于科学家研究课题吧，一定要尽力地去坚持独立探索、自主思考，不要倚赖于老师直接教解题方法，这样只能解决经验范围内的问题，而实际问题是千变万化的，并非都能有时间、有机会去经验的（即：直接从某处学到其解决方法的）。

“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的这种“高峰体验”尤其需要多经历一些，其中所得，无比重要，那是比可以言传的知识（现成的解题方法和技巧也不过是已知的知识）更重要的且“只可意会不可言传”的know-how，这是“‘如何创造知识’的知识”，是秘中之秘，是独属个人的“知识”。

另外，科学家创造理论——其核心是各种“公式”（即“方程式”）——的方式，有时候并不必然、不纯然是逻辑推导的结果，其中发挥更重大作用的是“构造”，而“构造”是需要直觉和想象力的。这种直觉和想象力需要我们有意识地去保护和滋养，在习题的解答上，就要求我们要主动积极地去面对困境，这种困境下的思考能激发我们本有的直觉和想象力，并在不断的修习中逐渐让我们的直觉更敏锐、想象力更丰富。

— 完 —

【其它相关文章以及后续更多相关文章请由原文链接按图索骥。】

标签：